符号表示根据教材Hugh Gravelle的《Microeconomics》。这里写的都不是课本的严格定义,而是方便理解和复习的口头表达。
消费
基础定义与公式
x :消费束。u :效用。
效用函数:u(x) ,如果买 x 这些东西的话所得的效用。
边际效用:ui 表示 ∂u∂xi ,多购买一点 xi 会提升多少效用。
边际替代率:MRSij ,物品 i 对物品 j 的替代率(达到同样的 u,多一点 xi 要少多少 xj),一般取 i>j。
例如物品2对物品1的替代率为,
MRS21=−dx2dx1|u不变
由效用函数推导可以得到,
MRSij=ujui
若已知价格,则
MRSij=ujui=pjpi
常用这个结论推导下面的各个函数。会简单些。也可用拉格朗日乘数法,构造 L=u(x)+λ(m−∑pixi)。
普通需求函数(马歇尔需求函数):Di(p,M) ,已知价格和总收入,求消费束
补偿需求函数(希克斯需求函数):Hi(p,u) ,已知价格,给定效用,求消费束
支出函数:m(p,u) ,已知价格,给定效用,求最小支出
间接效用函数:u∗(p,M) ,已知价格和总收入,求效用最大值
变化
补偿变化CV:在新价格下维持原效用水平所需的收入变化量。
等价变化EV:在初始价格下达到新效用水平所需的收入变化量。
消费者剩余CS:效用变化。
其它概念
正常商品:当消费者收入增加时,其需求量也会增加的商品,即普通需求函数对价格的偏导>0
∂Di(p,m)∂m>0
谢泼德引理:支出函数对价格的偏导数等于对应商品的补偿需求函数
∂m(p,u)∂pi=Hi(p,u)
斯勒茨基方程:Hi(p,u)=Di(p,m(p,u)) 对 pj 求偏导,得到的式子结合谢泼德引理整理,得
∂Di∂pj=∂Hi∂pj−xj∂Di∂m
其中 ∂Hi∂pj 代表了效用不变情况下买 i 的量随 pj 的变化趋势,是替代效应。右边是收入效应,表示降价相当于收入增加多少,Δxincome=∂Di∂m⋅Δm ,易知 Δm=−Δpjxj,那么整体对 pj 求偏导即可得到上式。
生产
生产函数 y=f(z)
边际产出 MPi=∂f∂zi=fi(z)
生产力假设:至少有一种投入的边际产出为正
等产量曲线
边际技术替代率(投入1对投入2的)
MRTS21=−dz2dz1|dy=0=f1(z)f2(z)=MP1MP2脊线:某种投入的边际产出为0
替代弹性:注意是1除以2还是2除以1!从定义出发考虑
σ=z2/z1的变化百分率MRTS21的变化百分率=d(z2/z1)(z2/z1)⋅(f1/f2)d(f1/f2)=d(z2/z1)d(f1/f2)⋅(f1/f2)(z2/z1)
成本
成本函数 C(y1,y2,p) 表示产出 y1 个第一种商品和 y2 个第二种商品,价格为 p 时候的最低成本。
多家厂商的成本最小化:拉格朗日法、库恩-塔克条件(KKT条件)
多产品的规模经济:设规模系数为 t,成本产出弹性 Ect=dCdt⋅tC<1。感性理解:弹性高的含义是随着规模变化,成本的比例变化快。
范围经济:在一定值域内,一起产出比分开产出的东西更少。
相关数学
Hessian矩阵判凸性:主子式的行列式全正则正定、凸,正负交替(1阶主子式是负的)则负定、凹
KKT(库恩-塔克条件): 拉格朗日函数的梯度为0,λg(X∗)=0(即 λ 和 g(X∗) 中至少一个为 0),λ≥0,g(X∗)≤0
拟凸/拟凹 (可能用在凸组合?相关的问题上?多个厂家、多种要素之类的情况?)不会。应该用不到吧。
利润
这块没出作业题,不学了
霍特林引理(类似谢泼德引理):利润与价格的变化率等于生产量
∂Π(p)∂pi=−yi(p)
市场均衡
单个市场
供给和需求,中微的东西,没学过,不会
多个市场
瓦尔拉斯均衡
初始禀赋在交易后变成均衡状态。均衡时候两个人对不同商品的边际替代率相等。每种商品的总量不变。买东西花的钱和卖东西赚的钱相等。
比如这里就是1商品和2商品,两个市场
{MUa1MUa2=MUb1MUb2⟹(xa2)22xa1xa2=2xb1xb2(xb1)2xa1+xb1=10xa2+xb2=20p1wa1+p2wa2=p1xa1+p2xa2p1wb1+p2wb2=p1xb1+p2xb2p1p2=(xa2)22xa1xa2=xa22xa1
比较难解,但是多花点时间也能算出来。
帕累托改善(得到帕累托改善配置):没有人变差、至少一个人变好。一般是一个区间
垄断市场
没出作业题,不学了
价格歧视 non-linear pricing
寡头市场
没出作业题,不学了
Cournot模型
Stückelberg模型
不确定条件下的决策
若 s 情况的概率为 πs ,在 s 情况下的效用为 vs,则期望 Pj 的期望效用为
ˉvj=S∑s=1πsvjs
根据效用函数的凸性,可以将决策者分为风险厌恶、风险中性、风险偏好三种类型。
绝对风险回避系数(绝对风险厌恶的普拉特-阿罗系数):
A(ˉy)=−v″
由于钱越多效用越高,所以 v’(\bar y) 一定是正的。当函数是凸的时候,v’’(\bar y) 为正,A(\bar y) 为负,更喜欢风险。
相对风险回避系数(相对风险厌恶的普拉特-阿罗系数):
R(y)=\frac{-v’’(y)y}{v’(y)}
可以体现财富比例
保险
费率 p,购买量为 q。预期效用最大化。光看式子是没什么难的。