符号表示根据教材Hugh Gravelle的《Microeconomics》。这里写的都不是课本的严格定义，而是方便理解和复习的口头表达。

消费

基础定义与公式

$x$ ：消费束。$u$ ：效用。

效用函数：$u(x)$ ，如果买 $x$ 这些东西的话所得的效用。

边际效用：$u_i$ 表示 $\frac{\partial u}{\partial x_i}$ ，多购买一点 $x_i$ 会提升多少效用。

边际替代率：$MRS_{ij}$ ，物品 $i$ 对物品 $j$ 的替代率（达到同样的 $u$，多一点 $x_i$ 要少多少 $x_j$），一般取 $i>j$。

例如物品2对物品1的替代率为，
$$
MRS_{21}=-\frac{dx_2}{dx_1} \bigg|_{u不变}
$$

由效用函数推导可以得到，

$$
MRS_{ij}=\frac{u_j}{u_i}
$$

若已知价格，则

$$
MRS_{ij}=\frac{u_j}{u_i}=\frac{p_j}{p_i}
$$

常用这个结论推导下面的各个函数。会简单些。也可用拉格朗日乘数法，构造 $L=u(x)+\lambda(m-\sum p_ix_i)$。

普通需求函数（马歇尔需求函数）：$D_i(p,M)$ ，已知价格和总收入，求消费束

补偿需求函数（希克斯需求函数）：$H_i(p,u)$ ，已知价格，给定效用，求消费束

支出函数：$m(p,u)$ ，已知价格，给定效用，求最小支出

间接效用函数：$u^*(p,M)$ ，已知价格和总收入，求效用最大值

变化

补偿变化CV：在新价格下维持原效用水平所需的收入变化量。

等价变化EV：在初始价格下达到新效用水平所需的收入变化量。

消费者剩余CS：效用变化。

其它概念

正常商品：当消费者收入增加时，其需求量也会增加的商品，即普通需求函数对价格的偏导>0

$$
\frac{\partial D_i(p,m)}{\partial m}>0
$$

谢泼德引理：支出函数对价格的偏导数等于对应商品的补偿需求函数

$$
\frac{\partial m(p,u)}{\partial p_i}=H_i(p,u)
$$

斯勒茨基方程：$H_i(p,u)=D_i(p,m(p,u))$ 对 $p_j$ 求偏导，得到的式子结合谢泼德引理整理，得
$$
\frac{\partial D_i}{\partial p_j}=\frac{\partial H_i}{\partial p_j}-x_j\frac{\partial D_i}{\partial m}
$$
其中 $\frac{\partial H_i}{\partial p_j}$ 代表了效用不变情况下买 $i$ 的量随 $p_j$ 的变化趋势，是替代效应。右边是收入效应，表示降价相当于收入增加多少，$\Delta x^{income}=\frac{\partial D_i}{\partial m}\cdot\Delta m$ ，易知 $\Delta m=-\Delta p_jx_j$，那么整体对 $p_j$ 求偏导即可得到上式。

生产

生产函数 $y=f(z)$

边际产出 $MP_i=\frac{\partial f}{\partial z_i}=f_i(z)$

生产力假设：至少有一种投入的边际产出为正

等产量曲线

边际技术替代率（投入1对投入2的）
$$
MRTS_{21}=-\frac{dz_2}{dz_1} \bigg|_{dy=0}=\frac {f_1(z)}{f_2(z)}=\frac{MP_1}{MP_2}
$$
脊线：某种投入的边际产出为0

替代弹性：注意是1除以2还是2除以1！从定义出发考虑
$$
\sigma=\frac{z_2/z_1的变化百分率}{MRTS_{21}的变化百分率}=\frac{d(z_2/z_1)}{(z_2/z_1)}\cdot\frac{(f_1/f_2)}{d(f_1/f_2)}=\frac{d(z_2/z_1)}{d(f_1/f_2)}\cdot\frac{(f_1/f_2)}{(z_2/z_1)}
$$

成本

成本函数 $C(y_1,y_2,p)$ 表示产出 $y_1$ 个第一种商品和 $y_2$ 个第二种商品，价格为 $p$ 时候的最低成本。

多家厂商的成本最小化：拉格朗日法、库恩-塔克条件（KKT条件）

多产品的规模经济：设规模系数为 $t$，成本产出弹性 $E_t^c=\frac{dC}{dt}\cdot\frac{t}C<1$。感性理解：弹性高的含义是随着规模变化，成本的比例变化快。

范围经济：在一定值域内，一起产出比分开产出的东西更少。

利润

这块没出作业题，不学了

霍特林引理（类似谢泼德引理）：利润与价格的变化率等于生产量
$$
\frac{\partial \Pi(p)}{\partial p_i}=-y_i(p)
$$

市场均衡

单个市场

供给和需求，中微的东西，没学过，不会

多个市场

瓦尔拉斯均衡

初始禀赋在交易后变成均衡状态。均衡时候两个人对不同商品的边际替代率相等。每种商品的总量不变。买东西花的钱和卖东西赚的钱相等。

比如这里就是1商品和2商品，两个市场
$$
\begin{cases}
\frac{MU_1^a}{MU_2^a}=\frac{MU_1^b}{MU_2^b}\Longrightarrow\frac{(x_2^a)^2}{2x_1^ax_2^a}=\frac{2x_1^b x_2^b}{(x_1^b)^2}\\
x_1^a+x_1^b=10\\
x_2^a+x_2^b=20\\
p_1w_1^a+p_2w_2^a=p_1x_1^a+p_2x_2^a\\
p_1w_1^b+p_2w_2^b=p_1x_1^b+p_2x_2^b\\
\frac{p_1}{p_2}=\frac{(x_2^a)^2}{2x_1^ax_2^a}=\frac{x_2^a}{2x_1^a}
\end{cases}
$$
比较难解，但是多花点时间也能算出来。

帕累托改进（得到帕累托更优配置）：没有人变差、至少一个人变好。一般是一个区间

垄断市场

没出作业题，不学了

价格歧视 non-linear pricing

寡头市场

没出作业题，不学了

Cournot模型

Stückelberg模型

不确定条件下的决策

若 $s$ 情况的概率为 $\pi_s$ ，在 $s$ 情况下的效用为 $v_s$，则期望 $P^j$ 的期望效用为

$$
\bar v^j=\sum_{s=1}^S\pi_sv_s^j
$$

根据效用函数的凸性，可以将决策者分为风险厌恶、风险中性、风险偏好三种类型。

绝对风险回避系数（绝对风险厌恶的普拉特-阿罗系数）：
$$
A(\bar y)=-\frac{v’’(\bar y)}{v’(\bar y)}
$$

由于钱越多效用越高，所以 $v’(\bar y)$ 一定是正的。当函数是凸的时候，$v’’(\bar y)$ 为正，$A(\bar y)$ 为负，更喜欢风险。

相对风险回避系数（相对风险厌恶的普拉特-阿罗系数）：

$$
R(y)=\frac{-v’’(y)y}{v’(y)}
$$

可以体现财富比例

保险

费率 $p$，购买量为 $q$。预期效用最大化。光看式子是没什么难的。

高级微观经济学笔记

消费