第一次作业中涉及的内容

cumulative distribution function, cdf 累计分布函数

离散随机变量

Probability mass function（概率密度函数，或叫概率质量函数）：p(x)是取到x的概率

  • 伯努利bernoulli：p概率为1，1-p概率为0

  • 二项binomial：有(n,p)两个参数，n次实验中成功的次数

  • 几何geometric：首次成功期望要多少次实验。（无穷项等比数列之和被称为几何级数，因为等比的英文就是geometric，然后被不恰当地翻译了）

  • 泊松poisson：$p(i)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^i}{i!}$。容易发现这个函数的前无穷项之和是1。二项分布$n$大$p$小时可以用泊松来近似计算

连续随机变量

Probability density function （概率密度函数）：f(x)，把区间的f函数积分起来就是取到这个区间的概率

  • 均匀uniform
  • 指数exponential：$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$
  • 伽马gamma：$f(x)=\frac{\lambda e^{-\lambda x}(\lambda x)^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}$，其中$\Gamma(\alpha)=\int_0^\infin e^{-x}x^{\alpha-1},\mathrm{d}x$
  • 正态normal：$\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}$

联合分布

累积联合概率分布函数
$$
F(a,b)=P{X\le a,Y\le b}
$$
若 $Y_1=g_1(X_1,X_2)$, $Y_2=g_2(X_1,X_2)$, 满足一些唯一性和连续性的条件的情况下，可以证明联合密度函数
$$
f_{Y_1,Y_2}(y_1,y_2)={f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)\over|J(x_1,x_2)|}
$$
其中Jacobian determinant $J(x_1,x_2)=\begin{vmatrix}\frac{\partial g_1}{\partial x_1}&\frac{\partial g_1}{\partial x_2}\\frac{\partial g_2}{\partial x_1}&\frac{\partial g_2}{\partial x_2}\end{vmatrix}$。理解：差不多起的是个缩放坐标系的作用。

（先鸽了，最近太忙，后面再学了（我知道可能要很久以后了，但是尽量早吧））